Quand j'étais petit garçon, l'expression quadrature du cercle avait le don de me transporter. Quand je demandai autour de moi ce qu'elle signifiait, on me répondit qu'il s'agissait d'un synonyme érudit de l'adjectif impossible. Comme j'ai toujours été un enfant sage et que cette assertion m'était donnée par un adulte, il ne me vint pas à l'esprit de la remettre en cause. Loin de là. Je me résignai donc à accepter qu'il était illusoire de chercher à construire, à partir d'un cercle donné, un carré doté d'une surface similaire.
Mais voilà. Très récemment, je tombai sur un petit billet du blog de Gilles Jobin consacré à la revue canadienne Accromath. Et en feuilletant un article intitulé "constructions impossibles", je me vis proposée une démonstration très déroutante de la quadrature du cercle enfin résolue sous la forme d'un jeu d'enfant.
Vous allez voir, c'est très facile.
Dans un premier temps, munissez-vous d'un compas et tracez un cercle. Arbitrairement, vous déterminez que le rayon de ce cercle vaut un (1).
Prenez maintenant une paire de ciseaux et découpez ce cercle. Tracez ensuite une ligne droite à partir du point le plus bas du cercle, "A". Posez votre cercle découpé en son emplacement d'origine et faites-le rouler d'un demi tour, jusqu'à un point "B".
Le segment de droite parcouru par votre cercle sur le papier (AB) est donc d'une longueur égale au nombre "pi", dont j'ai pu, il y a déjà un certain temps évoquer le caractère... amoureux. Jusque là, vous avez vu, rien de très compliqué. Rien, en tout cas que ne puisse réaliser un enfant de 10 ans ayant quelques notions élémentaires de trigonométrie.
On continue ? Vous allez voir, cela reste très facile.
Tracez maintenant un arc de cercle entre le point de départ du segment de droite et le point d'arrivée après rotation d'un demi-tour de votre cercle, allongé d'un rayon, soit de la quantité 1. Cela doit donner quelque chose comme ça :
Considérez maintenant le point "B". Munissez-vous d'une équerre pour tracer, à partir de ce point, une perpendiculaire nommée (h), qui vient couper l'arc de cercle au point "D".
Là, attention, ça se complique un tantinet. Comme les triangles (ABD) et (CBD) sont semblables, nous avons l'équivalence suivante :
BD / AB = BC / BD
Par le produit des extrêmes et le produit des moyens, nous avons :
BD au carré = AB x BC
ou encore :
BD au carré = PI x 1
ce qui revient à dire que BD est égal à racine carrée de PI.
Arrivé à ce point, il est facile de tracer un carré de côté (BD) dont la surface sera donc de racine carrée de PI, au carré, soit PI.
Alors, impossible de constuire, à partir d'un cercle donné, un carré de surface identique ? Pfff... Comment ai-je pu croire à pareille foutaise, puisque comme vous l'avez vu par vous-même, c'est à la portée d'un enfant d'une dizaine d'années.
A vos plumes pour dénoncer l'aberration ou la supercherie !
La quadrature du cercle consiste à dessiner un carré de la même surface qu'un cercle avec une règle et un compas. Pas avec une paires de ciseaux !
A partir du moment où tu as construit PI, en fait, c'est gagné. La suite, qui consiste à construire la racine carrée de PI (ce qui est assez facile) ne sert qu'à faire oublier l'arnaque du début (c'est à dire le coup des ciseaux).
Rédigé par : Cédric Ringenbach | 03/06/2011 à 21:45
Bravo Cédric ! Il fallait en effet revenir à la définition du problème, pour identifier la supercherie...
Rédigé par : Jean-Marc à Cédric Ringenbach | 04/06/2011 à 03:13
Cette solution était déjà connue dans l'antiquité, pas avec des ciseaux mais ils faisaient tourner une roue de diamètre 1 le long d'une ligne droite, ce qui revient au même. Le mot supercherie est exagéré, en fait la vraie supercherie de ce faux problème a été de vouloir imposer arbitrairement la règle et le compas comme si tout autre instrument était diabolique.
Rédigé par : Neunzehn | 02/06/2013 à 11:59